31 may 2015

Serie de Taylor

una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como ( x-a )^n llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto a suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, a=0, se le denomina serie de McLaurin.
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
  • la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
  • se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
  • es posible calcular la optimidad de la aproximación.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent). Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

A medida que aumenta el grado del polinomio de MacLaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de MacLaurin a sen(x), centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13
 
La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:
f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots
que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma:
\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,

donde:
  • n! es el factorial de n
  • f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.
La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como 0! son ambos definidos como 1 (0! = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de MacLaurin.
Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma \sum^{}_{}a_n(x-a)^n siempre se puede hacer el cambio de variable z=x-a (con lo que x=z+a en la función a desarrollar original) para expresarla como \sum^{}_{}a_nz^n centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función f(x)=x\ln x alrededor de a = 1 se puede tomar z=x-1, de manera que se desarrollaría f(z+1)=(z+1)\ln(z+1) centrada en 0.

Función exponencial y logaritmo natural

e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad, \forall x; n \in \mathbb{N}_0
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}n x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1

Serie geométrica

\frac{a}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} ax^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Funciones trigonométricas

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad, \forall x
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
Donde Bs son los Números de Bernoulli.
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\csc{x}=\sum_{n=1}^\infty{\frac{2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\quad\mbox{, para } 0<\left |{x}\right |< \pi
\arcsin x = \sum^{\infin} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1

Funciones hiperbólicas

\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad , \forall x
\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad , \forall x
\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1
\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1

Función W de Lambert

W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{1}{e}
Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.



La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de d variables:
\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d} =
\sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!} \sum_{n_1+\cdots+n_d=n} {n \choose n_1 \cdots n_d} {\partial^n f(a_1,\cdots,a_d) \over \partial x_1^{n_1} \cdots \partial x_d^{n_d}} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d},
donde {n \choose n_1 \cdots n_d} es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es:
f(x,y) \,
\approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) \,
+ \frac{1}{2}\left( f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2 \right).
Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:
T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots
donde \nabla f(\mathbf{a}) es el gradiente y \nabla^2 f(\mathbf{a}) es la matriz hessiana. Otra forma:
T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{\mathrm{D}^{\alpha}f(\mathbf{a})}{\alpha !}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}

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Metodo del Trapecio

es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida


\int_{a}^{b} f(x)\,dx.


La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que

\int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.


y donde el término error corresponde a:

-\frac{(b-a)^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)

Siendo \xi un número perteneciente al intervalo [a,b].
 

La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida \int_a^b f(x)\, dx representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho \Delta x=(b-a)/n.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:
\int_a^b f(x)\, dx \sim \frac{h}{2} [f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]
Donde \textstyle h= \frac{b-a}{n} y n es el número de divisiones
La expresión anterior también se puede escribir como:
\int_a^b f(x) dx \sim \frac{b-a}{n} \left[ \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} f\left(a + k \frac{b-a}{n}\right) \right]
El error en esta aproximación se corresponde con :
-\frac{(b-a)^3}{12n^2}\,f^{(2)}(\xi)
Siendo n el número de subintervalos



Ejemplo
\int_1^2 3x\, dx
Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda: h= \frac{b-a}{n} =\frac{2-1}{6} = \frac{1}{6}.
Y ahora se sustituye en la fórmula
\int_a^b f(x)\, dx = \frac{h}{2} [f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]
y queda:
\int_1^2 3x\, dx =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} [3(1)+2[3(1+1\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+2\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+3\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+4\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+5\cdot \frac{1}{6})]+3(2)] = 4.5

En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.







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