31 may 2015

Metodo del Trapecio

es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida


\int_{a}^{b} f(x)\,dx.


La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que

\int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.


y donde el término error corresponde a:

-\frac{(b-a)^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)

Siendo \xi un número perteneciente al intervalo [a,b].
 

La función f(x) (en azul) es aproximada por la función lineal (en rojo).

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida \int_a^b f(x)\, dx representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho \Delta x=(b-a)/n.
Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:
\int_a^b f(x)\, dx \sim \frac{h}{2} [f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]
Donde \textstyle h= \frac{b-a}{n} y n es el número de divisiones
La expresión anterior también se puede escribir como:
\int_a^b f(x) dx \sim \frac{b-a}{n} \left[ \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} f\left(a + k \frac{b-a}{n}\right) \right]
El error en esta aproximación se corresponde con :
-\frac{(b-a)^3}{12n^2}\,f^{(2)}(\xi)
Siendo n el número de subintervalos



Ejemplo
\int_1^2 3x\, dx
Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda: h= \frac{b-a}{n} =\frac{2-1}{6} = \frac{1}{6}.
Y ahora se sustituye en la fórmula
\int_a^b f(x)\, dx = \frac{h}{2} [f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+...+f(b)]
y queda:
\int_1^2 3x\, dx =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} [3(1)+2[3(1+1\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+2\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+3\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+4\cdot \frac{1}{6})]+2[3(1+5\cdot \frac{1}{6})]+3(2)] = 4.5

En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a integración es lineal.







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