Métodos Numéricos

31 may 2015

Método de simpson

Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma entre una función f(x), el eje x y los límites a y b.

CÁLCULO DE ÁREAS

Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma entre una función f(x), el eje x y los límites a y b.

Partiendo del hecho que la función

y los valores a y b son conocidos. a se considera como el límite inferior y b se considera como límite superior. En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:

*Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada.

*Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.

Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas.

Además de aplicar la regla trapezoidal o Rectangular con segmentos o sub áreas cada vez más pequeñas, otra manera de obtener una estimación aún más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos, en el caso particular del método que usa orden 2, es decir de la forma

A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les conoce como reglas de Simpson.

Modelo Simpson

Para efectos de la demostración del método de Simpson, se asume cada sub área como un pequeño arco de parábola de la forma

Cuadro Comparativo

Ventajas	Desventajas
Proporciona resultados exactos para polinomios cúbicos aun cuando se derive de una parábola, es decir, tiene una precisión de tercer orden aun cuando se base en solo tres puntos	Es una sucesión de curva que es amoldada a la forma de la función
Una ventaja del método es que es directo, es decir, que no necesita iteraciones para llegar a su resultado.	El método se aplica si y solo si cumple con las condiciones específicas que este requiere, de lo contrario en las funciones que no cumplan con las mismas, no se podrán realizar
Para la identificación de datos correctos en la integral aproximada se efectúa por lo menos integraciones con distinto número de sub-intervalos.	Trabaja con dos grandes secciones, y a su vez con dos márgenes de acotación.

Mínimos Cuadrados

Es una técnica de Análisis Numérico en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un “mejor ajuste”).

Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x e y se relacionan a través de una ecuación lineal

y = ax + b

Donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar.

AJUSTE : supone que los datos ingresados están afectados en cierto grado de errores debido al modelado, por lo que, no resulta indispensable que la CURVA DE AJUSTE correspondiente, pase exactamente por los puntos que representan los datos, sino que, en promedio la aproximación sea óptima de acuerdo a un cierto y determinado criterio, denominado CRITERIO DE AJUSTE. • El iniciador de estos procedimientos fue Gauss, quien desarrollo el tan conocido método de los mínimos cuadrados.

Cuadro Comparativo

Ventajas	Desventajas
Es objetivo, sólo depende de los resultados experimentales	Sólo sirve para ajustar modelos lineales
Proporciona intervalos pequeños de error	Requiere tener, al menos, diez mediciones bajo las mismas circunstancias experimentales
Proporciona una estimación probabilística de la ecuación que representa a unos datos experimentales	Tales resultados deben estar descritos por una distribución de probabilidad conocida. La más común es la distribución normal o gaussiana.
Es reproducible, proporciona la misma ecuación, no importa quién realice el análisis.	Se requiere de algún equipo de cálculo, de lo contrario, es muy engorroso.

Ejemplos:

1.- Resuelva el siguiente problema de mínimos cuadrados

Solución: Basta resolver las ecuaciones normales AT Ax = AT b multiplicando por AT por la izquierda ambos lados del sistema:

Quedando las ecuaciones normales

Formando la matriz aumentada y reduciendo:

La solución del sistema normal es la solución por mínimos cuadrados:

2.- Determina la recta de mínimos cuadrados para el porcentaje de calificaciones por encima del 80 que ha reunido el profesor de álgebra lineal

Meta: Encontrar un modelo que minimice el error total

Método de Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor puesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.

La función ƒ es mostrada en azul y la línea tangente en rojo. Vemos que xn+1 es una mejor aproximación que xn para la raíz x de la función f.

Sea f: [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x₀ y definimos para cada número natural

24 abr 2015

Comparación de gráficas utilizando distintos tipos de software

Graph

Esta aplicación es sencilla de usar se puede dibujar gráficas de funciones matemáticas en un sistema de coordenadas, de forma sencilla y precisa. Se puede trabajar tanto con gráficas normales como con funciones de parámetro.

Soporta una amplia variedad de funciones ya integradas (seno, coseno, tangente, logaritmo, raíz cuadrada, factorial...) y se pueden dibujar en diferentes colores y estilos de línea para distinguirlas fácilmente unas de otras, así como añadir sombras y puntos a todo el sistema de coordinada

Ejemplo 1: x^3-4x^2+3x-2

Ejemplo 2: 2x^3+5x^2-3

Ejemplo 3: 2x^4+3x-2

Ejemplo 4: 2x^3-3

Tipo de Errores

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado se resuelve implementando la siguiente formula:

E = P* - P

Pueden ser calculas mediante una forma directa o indirecta, la indirecta consiste en calcular con la que da el aparato y la directa empleando la formula

Existen distintos tipos de errores por ejemplo:

Error Absoluto

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como:

EA = | P* - P |

Error Relativo

Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

Y el error relativo como:

ER = | P* - P| / P , si P =/ 0

El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:

ERP = ER x 100

Ejemplo:

Medir cada uno de los botones de un teclado para posteriormente compararlas con las medidas que no ofrece el fabricante y encontrar el error en cada medida de los botones.

En este caso se utilizo un teclado Hp

En las tablas se representan las medidas de los botones del teclado donde X representa las medidas que fueron tomadas por nosotros, y la columna Fabricante son las medidas que nos ofrece el fabricante comparando ambas columnas obtenemos el error de cada botón

Grafica representando los errores de los botones

Método de Bisección

El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja en dividir el intervalo en 2 subintervalos de igual magnitud, reteniendo el subintervalo en donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz o cero, y repetir el proceso varias veces.

Si f es una función continua sobre el intervalo [a,b] y si f(a) f(b)<0, entonces f debe tener un cero en (a,b). Dado que f(a)f(b)<0, la función cambia de signo en el intervalo [a,b] y por lo tanto tiene por lo menos un cero en el intervalo.

(figura 1.0)

Paso 1

Se deben elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:

f(Xa)f(Xb) < 0

Paso 2

La primera aproximación de la raíz se determina con la siguiente formula: